Question

一個多面體的直觀圖及三視圖分別如圖1和圖2所示（其中正視圖和側(cè)視圖均為矩形，俯視圖是直角三角形），M、N分別是AB₁、A₁C₁的中點，MN⊥AB₁．


（Ⅰ）求實數(shù)a的值并證明MN∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）在上面結(jié)論下，求平面AB₁C₁與平面ABC所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由圖可知，ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，側(cè)棱CC₁=a，底面為直角三角形，AC⊥BC，AC=3，BC=4
以C為坐標(biāo)原點，分別以CA，CB，CC₁為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，，
因為MN⊥AB₁，所以
解得：a=4…（3分）
此時，，平面BCC₁B₁的法向量
∴
∴與平面BCC₁B₁的法向量垂直，且MN?平面BCC₁B₁
∴MN∥平面BCC₁B₁…（6分）
（Ⅱ） 平面ABC的法向量，設(shè)平面AB₁C₁的法向量為，平面AB₁C₁與平面ABC所成銳二面角的大小等于其法向量所成銳角θ的大小，法向量滿足：
因為A（3，0，0），C₁（0，0，4），B₁（0，4，4），
所以，
所以，，
所以，
所以平面AB₁C₁與平面ABC所成銳二面角的余弦值為…（13分）
分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，以C為坐標(biāo)原點，分別以CA，CB，CC₁為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點與向量，證明與平面BCC₁B₁的法向量垂直，即可證得MN∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ） 平面ABC的法向量，求出平面AB₁C₁的法向量，從而可得，即可得到平面AB₁C₁與平面ABC所成銳二面角的余弦值．
點評：本題考查線面平行，考查面面角，解題的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量知識解決立體幾何問題．