Question

【題目】(2017·洛陽市統(tǒng)考)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，an≠0，a1＝1，且2anan＋1＝4Sn－3(n∈N*)．

(1)求a2的值并證明：an＋2－an＝2；

(2)求數(shù)列{an}的通項公式．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）an＝.

【解析】試題分析：（1）由，可得，兩式相減可得；（2）由（1）可得數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別為等差數(shù)列，討論為奇數(shù)、為偶數(shù)兩種情況，分別利用等差數(shù)列的通項公式寫出奇數(shù)項和偶數(shù)項的通項公式，進而得出數(shù)列的通項公式.

試題解析：(1)令n＝1得2a1a2＝4S1－3，又a1＝1，

∴a2＝.

2anan＋1＝4Sn－3，①

2an＋1an＋2＝4Sn＋1－3.②

②－①得，2an＋1(an＋2－an)＝4an＋1.

∵an≠0，∴an＋2－an＝2.

(2)由(1)可知：

數(shù)列a1，a3，a5，…，a2k－1，…為等差數(shù)列，公差為2，首項為1，

∴a2k－1＝1＋2(k－1)＝2k－1，即n為奇數(shù)時，an＝n.

數(shù)列a2，a4，a6，…，a2k，…為等差數(shù)列，公差為2，首項為，

∴a2k＝＋2(k－1)＝2k－，即n為偶數(shù)時，an＝n－.

綜上所述，an＝.