Question

設(shè)二次方程a_nx²-a_n+1x+1=0（n=1，2，3，…）有兩根α、β，且滿(mǎn)足6α-2αβ+6β=3．
（1）試用a_n表示a_n+1；
（2）求證：{a_n-}是等比數(shù)列；
（3）當(dāng)a₁=時(shí)，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

(1)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，有關(guān)系式
代入已知條件6(α+β)-2αβ=3，得-=3．
∴a_n+1=a_n+．
(2)由于a_n+1=a_n+，改寫(xiě)為_an+1-=(a_n-)．
故{a_n-}是等比數(shù)列．
(3)當(dāng)a₁=時(shí)，a₁-=．
故{a_n-}是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．
∴a_n=+()ⁿ，n=1，2，3，…，
即數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=+()ⁿ，n=1，2，3，…．

這是有關(guān)數(shù)列、二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的綜合題．根據(jù)題目條件列出等量關(guān)系，找到遞推關(guān)系即可求解．