Question

已知f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，當x≥0時，有f（x+1）=-f（x），且當x∈[0，1）時，f（x）=log₂（x+1），給出下列命題：
①f（2013）+f（-2014）的值為0；
②函數(shù)f（x）在定義域上為周期是2的周期函數(shù)；
③直線y=x與函數(shù)f（x）的圖象有1個交點；
④函數(shù)f（x）的值域為（-1，1）．
其中正確的命題序號有

 

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Answer 1

分析：根據(jù)已知中函數(shù)的奇偶性，及當x≥0時，有f（x+1）=-f（x），且當x∈[0，1）時，f（x）=log₂（x+1），畫出函數(shù)的圖象，逐一分析四個結論的真假，可得答案．

解答：解：∵f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，
且當x≥0時，有f（x+1）=-f（x），
且當x∈[0，1）時，f（x）=log₂（x+1），
故函數(shù)f（x）的圖象如下圖所示：

由圖可得：f（2013）+f（-2014）=0+0=0，故①正確；
函數(shù)f（x）在定義域上不是周期函數(shù)，故②錯誤；
直線y=x與函數(shù)f（x）的圖象有1個交點，故③正確；
函數(shù)f（x）的值域為（-1，1），故④正確；
故正確的命題序號有：①③④
故答案為：①③④

點評：本題以命題的真假判斷為載體，考查了函數(shù)的圖象和性質，其中根據(jù)已知畫出滿足條件的函數(shù)圖象是解答的關鍵．