Question

已知A（－5，0），B（5，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足｜｜，｜｜，8成等差數(shù)列．
（1）求P點(diǎn)的軌跡方程；
（2）對于x軸上的點(diǎn)M，若滿足｜｜·｜｜＝，則稱點(diǎn)M為點(diǎn)P對應(yīng)的“比例點(diǎn)”.問：對任意一個(gè)確定的點(diǎn)P，它總能對應(yīng)幾個(gè)“比例點(diǎn)”?

Answer 1

(1)；（2）見解析.

解析試題分析：(1)利用等差中項(xiàng)的定義可得利用雙曲線定義寫出軌跡方程即可；（2）考慮到在上，故可設(shè)出其坐標(biāo)，設(shè)，寫出｜｜、｜｜即，根據(jù)｜｜·｜｜＝計(jì)算得出關(guān)于的方程，判斷此方程根的個(gè)數(shù)確定“比例點(diǎn)”.
試題解析：（1）由已知得
∴P點(diǎn)的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，且，
∴P點(diǎn)的軌跡方程為（標(biāo)不扣分，不標(biāo)扣1分）                 5分
（2）設(shè)

則

又
由得                     10分
，∴方程恒有兩個(gè)不等實(shí)根
∴對任意一個(gè)確定的點(diǎn)P，它總能對應(yīng)2個(gè)“比例點(diǎn)”              12分
考點(diǎn)：等差中項(xiàng)、向量數(shù)量積的計(jì)算、雙曲線定義.