Question

【題目】對于任意的復(fù)數(shù)，定義運(yùn)算為．

（1）設(shè)集合{均為整數(shù)}，用列舉法寫出集合；

（2）若，為純虛數(shù)，求的最小值；

（3）問：直線上是否存在橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)，使該點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)經(jīng)運(yùn)算后，對應(yīng)的點(diǎn)也在直線上？若存在，求出所有的點(diǎn)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，或

【解析】

（1）根據(jù)題意得到，代入計(jì)算得到答案.

（2）根據(jù)計(jì)算法則得到，代入計(jì)算復(fù)數(shù)模，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得到最值.

（3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，計(jì)算得到，討論為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種情況，計(jì)算得到答案.

（1）均為整數(shù)，則，

，，，，，故.

（2），∵是純虛數(shù)，∴且，

∴，∴，或時(shí)，的最小值為.

（3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，設(shè)該點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，

則，

若為奇數(shù)，則，∴，；

若為偶數(shù)，則，∴，無解．

綜上，存在這樣的點(diǎn)，坐標(biāo)為或.