Question

已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）+ax，（a∈R），（e=2.718281828…）
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及極值；
（2）令g（x）=（1-a）x，當(dāng)x∈[e-1，2]時(shí)，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）令a_n=1+

n

2n

，記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)積為T_n，求證：T_n＜e²．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后利用單調(diào)性和極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解．
（2）將參數(shù)進(jìn)行分類，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為含有參數(shù)問題求最值恒成立問題，然后利用導(dǎo)數(shù)求構(gòu)造函數(shù)的最值．
（3）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，構(gòu)造對(duì)應(yīng)的函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性去證明不等式．

解答：解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=ln（1+x）-x，（x＞-1）∴f′(x)=

1

1+x

-1=

-x

1+x

當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)f'（x）＞0；當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)f'（x）＜0
∴當(dāng)x=0時(shí)f_極大值（x）=f（0）=0，無極小值，
且函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-1，0），單調(diào)減區(qū)間為（0，+∞）；（4分）
（2）當(dāng)x∈[e-1，2]時(shí)，不等式f（x）≥g（x）恒成立等價(jià)于ln（1+x）-（1-2a）x≥0
即：1-2a≤

ln(1+x)

x

恒成立．令φ(x)=

ln(1+x)

x

，x∈[e-1，2]，∴φ′(x)=

x 1+x -ln(1+x)

x2

當(dāng)x∈[e-1，2]時(shí)，

x

1+x

＜1，ln(1+x)＞1則：φ′(x)＜0∴φmin(x)=φ(2)=

ln3

2

∴1-2a≤

ln3

2

∴a≥

2-ln3

4

則實(shí)數(shù)a的取值范圍[

2-ln3

4

，+∞)（9分）
（3）由（1）得：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，+∞）單調(diào)遞減，則：ln（1+x）-x＜0，
即：ln（1+x）＜x，∴lnan=ln(1+

n

2n

)＜

n

2n

，
則：lna1+lna2+…+lnan＜

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

記：Mn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

①∴

1

2

Mn=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

②
①-②得：

1

2

Mn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

∴

1

2

Mn=1-

1

2n

-

n

2n+1

∴Mn=2-

n+2

2n+1

＜2（12分）∴l(xiāng)nT_n＜2則：Tn＜e2（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及極值和最值問題，對(duì)于不等式恒成立問題往往是將不等式進(jìn)行參數(shù)分類，轉(zhuǎn)化為含參問題恒成立問題．