Question

已知ω＞0，向量

m

=（1，2cosωx），

n

=（

3

sin2ωx，-cosωx）．設函數f（x）=

m

•

n

，且f（x）圖象上相鄰的兩條對稱軸的距離是

π

2

．
（Ⅰ）求數ω的值；
（Ⅱ）求函數f（x）在區(qū)間[

π

4

，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據向量的數量積運算表示出函數f（x）的解析式，然后化簡為y=Asin（ωx+ρ）+b的形式，再由兩條對稱軸的距離是

π

2

可求出最小正周期，進而可求出ω的值．
（Ⅱ）將ω的值代入到函數f（x）中確定解析式，根據x的范圍求出2x-

π

6

的范圍，再由正弦函數的最值可確定答案．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

m

•

n

=

3

sin2ωx-2cos²ωx
=

3

sin2ωx-cos2ωx-1=2sin(2ωx-

π

6

)-1．
∵f（x）的圖象上相鄰的兩條對稱軸的距離是

π

2

，
∴f（x）的周期為π，∴ω=1．

（Ⅱ）∵ω=1∴f(x)=2sin(2x-

π

6

)-1，
∵x∈[

π

4

，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[

π

3

，

5π

6

]，
則當2x-

π

6

=

5π

6

，即x=

π

2

時，f（x）取得最小值0；
當2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

時，f（x）取得最大值1．

點評：本題主要考查向量的數量積運算和三角函數的最值．三角函數和向量的綜合題是高考的重點，每年必考，要強化復習．