Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（2x-

π

3

）．
（1）求f（x）的最小值及f（x）取到最小值時(shí)自變量x的集合；
（2）指出函數(shù)y=f（x）的圖象可以由y=sinx的圖象經(jīng)過(guò)哪些變換得到；
（3）當(dāng)x∈[0，m]時(shí)，函數(shù)y=f（x）的值域?yàn)閇-

3

，2]，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）=2sin（2x-

π

3

），可得 y_min=-2，此時(shí)2x-

π

3

=2kπ-

π

2

，從而求得f（x）取到最小值時(shí)自變量x的集合．
（2）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．
（3）由條件可得2m-

π

3

≥

π

2

，即 m≥

5π

12

．又函數(shù)y=f（x）在[

5π

12

，

11π

12

]上是單調(diào)減函數(shù)，令2sin（2x-

π

3

）=-

3

，解得 x=

5π

6

，由此可得m的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=2sin（2x-

π

3

），故 y_min=-2．此時(shí)，2x-

π

3

=2kπ-

π

2

，即x=kπ-

π

12

，k∈Z，
即此時(shí)自變量x的集合是{x|x=kπ-

π

12

，k∈Z}． …（3分）
（2）把y=sinx圖象向右平移

π

3

，得到函數(shù)y=sin（x-

π

3

）的圖象．
再把函數(shù)y=sin（x-

π

3

）的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的

1

2

，
得到函數(shù)y=sin（2x-

π

3

）的圖象．
最后再把函數(shù)y=sin（2x-

π

3

）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，
得到函數(shù)y=2sin（2x-

π

3

）的圖象．  …（6分）
（3）∵當(dāng)x∈[0，m]時(shí)，函數(shù)y=f（x）的值域?yàn)閇-

3

，2]，
又當(dāng)x∈[0，m]時(shí)，有-

π

3

≤2x-

π

3

≤2m-

π

3

，且y取到最大值2，f（0）=-

3

，
所以2m-

π

3

≥

π

2

，故 m≥

5π

12

． …（8分）
又函數(shù)y=f（x）在[

5π

12

，

11π

12

]上是單調(diào)減函數(shù)，令2sin（2x-

π

3

）=-

3

，可得 x=

5π

6

．
所以m的取值范圍是[

5π

12

，

5π

6

]．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性和最值，函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．