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        1. 已知函數(shù)f(x)=x+
          ax
          ,且f(1)=2.
          (1)求a的值;
          (2)判斷f(x)的奇偶性,并證明你的結(jié)論;
          (3)此函數(shù)在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù)還是減函數(shù)?并用定義證明你的結(jié)論.
          分析:(1)由題意可得 1+
          a
          1
          -2,喲此解得a的值.
          (2)由(1)可得fx)=x+
          1
          x
          ,求得它的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.再由f(-x)=-f(x),可得函數(shù)f(x)為奇函數(shù).
          (3)此函數(shù)在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明函數(shù)在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù).
          解答:解:(1)由題意可得 1+
          a
          1
          -2,解得a=1.
          (2)由(1)可得fx)=x+
          1
          x
          ,它的定義域?yàn)椋?∞,0)∪(0,+∞),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
          再由f(-x)=-x-
          1
          x
          =-(x+
          1
          x
          )=-f(x),可得函數(shù)f(x)為奇函數(shù).
          (3)此函數(shù)在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù).
          證明:設(shè)x2>x1>1,可得f(x2)-f(x1)=(x2+
          1
          x2
          )-(x1+
          1
          x1
          )=x2-x1+
          x1-x2
          x1•x2
          =(x2-x1)(1-
          1
          x1•x2
          ).
          由題設(shè)可得x2-x1>0,
          1
          x1•x2
          <1,故 1-
          1
          x1•x2
          >0,∴f (x2)-f(x1)>0,即 f(x2)>f(x1),
          故函數(shù)在區(qū)間(1,+∞)上是增函數(shù).
          點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷方法,利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性,屬于中檔題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
          π
          2
          )的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是(  )
          A、f(x)=2sin(πx+
          π
          6
          )(x∈R)
          B、f(x)=2sin(2πx+
          π
          6
          )(x∈R)
          C、f(x)=2sin(πx+
          π
          3
          )(x∈R)
          D、f(x)=2sin(2πx+
          π
          3
          )(x∈R)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
          1
          3
          x3+bx2+cx+d
          ,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
          (1)求f(x);
          (2)設(shè)g(x)=x
          f′(x)
           , m>0
          ,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
          (3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
          x
          a
          -1)2+(
          b
          x
          -1)2,x∈(0,+∞)
          ,其中0<a<b.
          (1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
          (2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
          (3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
          求證:f1(x)+f2(x)>
          4c2
          k(k+c)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:上海模擬 題型:解答題

          已知函數(shù)f(x)=(
          x
          a
          -1)2+(
          b
          x
          -1)2,x∈(0,+∞)
          ,其中0<a<b.
          (1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
          (2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
          (3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
          求證:f1(x)+f2(x)>
          4c2
          k(k+c)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:深圳一模 題型:解答題

          已知函數(shù)f(x)=
          1
          3
          x3+bx2+cx+d
          ,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
          (1)求f(x);
          (2)設(shè)g(x)=x
          f′(x)
           , m>0
          ,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
          (3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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