Question

已知橢圓的離心率，連結(jié)橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4。
 （1）求橢圓的方程；
 （2）設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A，B，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-a，0），點(diǎn)Q（0，y₀）在線段AB的垂直平分線上，且，求y₀的值。

Answer 1

解：（1）由得3a²=4c²
再由c²=a²-b²，得a=2b
由題意可知
即ab=2
解方程組
得a=2，b=1
所以橢圓的方程為；
（2）由（1）可知A（-2，0），設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₁，y₁），直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k（c+2）
于是A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組
由方程組消去y并整理，得（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0
由得
從而
設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，則M的坐標(biāo)為
以下分兩種情況：
①當(dāng)k=0時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），線段AB的垂直平分線為y軸，于是
由得y₀=
②當(dāng)k≠0時(shí)，線段AB的垂直平分線方程為
令x=0，解得
由
·
整理得7k²=2，故
所以
綜上或。