Question

【題目】某校舉行了全體學(xué)生的一分鐘跳繩比賽，為了了解學(xué)生的體質(zhì)，隨機抽取了100名學(xué)生，其跳繩個數(shù)的頻數(shù)分布表如下：

一分鐘跳繩個數(shù)
頻數(shù)	6	12	18	30	16	10	8

（1）若將抽取的100名學(xué)生一分鐘跳繩個數(shù)作為一個樣本，請將這100名學(xué)生一分鐘跳繩個數(shù)的頻率分布直方圖補充完整（只畫圖，不需要寫出計算過程）；

（2）若該校共有3000名學(xué)生，所有學(xué)生的一分鐘跳繩個數(shù)X近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）.利用所得正態(tài)分布模型，解決以下問題：

①估計該校一分鐘跳繩個數(shù)超過165個的人數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）；

②若在該校所有學(xué)生中任意抽取4人，設(shè)一分鐘跳繩個數(shù)超過180個的人數(shù)為，求隨機變量的分布列、期望與方差./span>

附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布，則，，.

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；（2）①2524（人）②分布列見解析；

【解析】

（1）由跳繩個數(shù)的頻數(shù)分布表能完成頻率分布直方圖．

（2）①由頻率分布直方圖求出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估計值，從而該校全體學(xué)生的一分釧跳繩個數(shù)近似服從正態(tài)分布，，由，求出，由此能求出該校一分鐘跳繩個數(shù)超過165個的人數(shù)．

②由正態(tài)分布求出在該校任取一人，一分鐘跳繩個數(shù)超過180個的概率約為，從而，由此能求出隨機變量的分布列、期望與方差．

解：（1）由題意可得，

（2）樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估計值為（個）

所以該校全體學(xué)生的一分鐘跳繩個數(shù)X近似服從正態(tài)分布

①，

所以該校一分鐘跳繩個數(shù)超過165個的人數(shù)約為（人）

②由正態(tài)分布可得，在該校任取一人，一分鐘跳繩個數(shù)超過180個的概率約為，所以，的所有可能的取值為0，1，2，3，4.

所以，，

，，

，

所以的分布列為

	0	1	2	3	4
P

所以