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        1. 已知橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          C:的左右焦點為F1,F(xiàn)2,離心率為e,直線l:y=ex+a與x軸、y軸分別交于點A、B,M是直線l與橢圓C的一個公共點,且
          AM
          =
          3
          4
          AB

          (1)計算橢圓的離心率e
          (2)若直線l向右平移一個單位后得到l′,l′被橢圓C截得的弦長為
          5
          4
          ,則求橢圓C的方程.
          分析:(1)直線l方程與橢圓方程聯(lián)立,求出交點M的坐標,利用
          AM
          =
          3
          4
          AB
          得到e值.
          (2)由(1)中求得的e值,可求出直線l方程,并化簡橢圓方程,使其只含一個參數(shù),設l′方程,與橢圓方程聯(lián)立,用弦長公式求出l′被橢圓C截得的弦長,令其等于
          5
          4
          ,即可得到橢圓方程.
          解答:解:(1)y=ex+a,∴A(-
          a
          e
          ,0),B(0,a) 
          y=ex+a
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1
          ,∴
          x=-c
          y=
          b2
          a
          ∴M(-c,
          b2
          a
          ),由
          AM
          =
          3
          4
          AB
          ,得 
          (-c+
          a
          e
          b2
          a
          )=
          3
          4
          a
          e
          ,a),即
          a
          e
          -c= 
          3
          4
          a
          e
          b2
          a
          =
          3
          4
          a
          ∴e2=1-
          3
          4
          =
          1
          4
          ,∴e=
          1
          2
               
          (2)∵e=
          1
          2
          ,設橢圓的方程為3x2+4y2=3a2,l:y=
          1
          2
          x-
          1
          2
          +a
          3x2+4y2=3a2
          y=
          1
          2
          x-
          1
          2
          +a
          消y,得4x2+(4a-2)x+a2-4a+1=0.設l交橢圓于B(x1,y1),C(x2,y2
          ∴x1+x2=-
          4a-2
          4
          ,x1x2=
          a2-4a+1
          4

              
          ∴l(xiāng)=
          1+k2
          (x1+x2)2-4x1x2
          =
          5
          4
          12a-3
          4
          =
          5
          4
              
          ∴a=
          2
          3
          ∴橢圓的方程為
          x2
          4
          9
          +
          y2
          1
          3
          =1
          點評:本題主要考查了利用直線與橢圓位置關系求參數(shù)的值,注意韋達定理的應用.
          練習冊系列答案
          相關習題

          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          的左右焦點分別為F1,F(xiàn)2,左頂點為A,若|F1F2|=2,橢圓的離心率為e=
          1
          2

          (Ⅰ)求橢圓的標準方程,
          (Ⅱ)若P是橢圓上的任意一點,求
          PF1
          PA
          的取值范圍
          (III)直線l:y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M,N(均不是長軸的頂點),AH⊥MN垂足為H且
          AH
          2
          =
          MH
          HN
          ,求證:直線l恒過定點.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)的左焦點F(-c,0)是長軸的一個四等分點,點A、B分別為橢圓的左、右頂點,過點F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點,記直線AD、BC的斜率分別為k1,k2
          (1)當點D到兩焦點的距離之和為4,直線l⊥x軸時,求k1:k2的值;
          (2)求k1:k2的值.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          的離心率是
          3
          2
          ,且經(jīng)過點M(2,1),直線y=
          1
          2
          x+m(m<0)
          與橢圓相交于A,B兩點.
          (1)求橢圓的方程;
          (2)當m=-1時,求△MAB的面積;
          (3)求△MAB的內(nèi)心的橫坐標.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (2013•威海二模)已知橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          的離心率為e=
          6
          3
          ,過右焦點做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點,且兩交點與橢圓的左焦點及右頂點構成的四邊形面積為
          2
          6
          3
          +2

          (Ⅰ)求橢圓的標準方程;
          (Ⅱ)設點M(0,2),直線l:y=1,過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點,若N為AB的中點,D為N在直線l上的射影,AB的中垂線與y軸交于點P.求證:
          ND
          MP
          AB
          2
          為定值.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)的右焦點為F,過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點,若|MN|=3,且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根,求橢圓方程.

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          同步練習冊答案