Question

（1）證明：函數(shù)f（x）=x+

2

x

在（0，

2

]上是減函數(shù)，在[

2

，+∞）上是增函數(shù)；
（2）試討論方程x+

2

x

=a，（x∈（1，2]，a∈R）的解的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得結(jié)論；
（2）函數(shù)在（1，

2

]上是減函數(shù)，在[

2

，2]上是增函數(shù)，求出函數(shù)的最值，即可求得結(jié)論．

解答：（1）證明：求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=1-

2

x2

當(dāng)x∈（0，

2

]時(shí)，f′（x）≤0；當(dāng)x∈[

2

，+∞）時(shí)，f′（x）≥0，
∴函數(shù)f（x）=x+

2

x

在（0，

2

]上是減函數(shù)，在[

2

，+∞）上是增函數(shù)；
（2）解：由（1）知，函數(shù)在（1，

2

]上是減函數(shù)，在[

2

，2]上是增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（

2

）=2

2

，f（x）_max=f（2）=3
∴a＜2

2

或a＞3時(shí)，方程無解；a=2

2

或a=3時(shí)，方程有一個(gè)解；2

2

＜a＜3時(shí)，方程有兩個(gè)解．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查方程解的討論，正確求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．