Question

已知函數(shù)f(x)=

a

2

-

2x

2x+1

（a為常數(shù)）
（1）證明：函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值．

Answer 1

分析：（1）要用函數(shù)的單調(diào)性的定義來證明函數(shù)是一個減函數(shù)，首先取兩個具有大小關(guān)系的變量，利用這兩個自變量的函數(shù)值相減，把最后結(jié)果整理成因式乘積的形式，判斷差和0的關(guān)系．
（2）根據(jù)函數(shù)是一個奇函數(shù)，并且函數(shù)的定義域包含0，所以只要寫出f（0）=0，得到關(guān)于a的等式，解方程即可．

解答：解：（1）證明：在（-∞，+∞）上任取兩個值x₁，x₂且x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=（

a

2

-

2x1

2x1+1

）-（

a

2

-

2x2

2x2+1

）
=

2x2

2x2+1

-

2x1

2x1+1

=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

∵2＞1且x₁＜x₂
∴2x2-2x1＞0又(2x1+1)(2x2+1)＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）
∴函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)．
（2）∵f（x）為奇函數(shù)且在x=0處有意義，
∴f（0）=0
∴

a

2

-

20

20+1

=0
∴a=1

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，是一個考查奇偶性和單調(diào)性的綜合問題，注意這種問題一般是用定義來證明的．