Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，證明： ；

（Ⅱ）當(dāng)，且時(shí)，不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍 .

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析：（1）要證，只需證，構(gòu)造差函數(shù)，轉(zhuǎn)化為證明最小值大于零，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，可得結(jié)果，（2）先化簡(jiǎn)所求不等式： ，分及兩種情況說明，主要研究分子函數(shù)，利用二次求導(dǎo)可得當(dāng)時(shí)， 在上是減函數(shù)， 在上是減函數(shù)， ； 在上是增函數(shù)， 在上是減函數(shù)，從而， ，因此當(dāng)時(shí)，滿足題意.

試題解析：（Ⅰ）證明：∵， ， ，即，

令， ，則在上是增函數(shù)，

故，即命題結(jié)論成立．

（Ⅱ）原不等式等價(jià)于．　

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ，

原不等式等價(jià)于，

令，

令， ，

①當(dāng)時(shí)，有，

令，則，故在上是減函數(shù)，即，

因此在上是減函數(shù)，從而，

所以，當(dāng)時(shí)，對(duì)于，有，

當(dāng)時(shí)，有，

令，則，故在上是增函數(shù)，即，

因此， 在上是減函數(shù)，從而， ，

所以當(dāng)時(shí)，對(duì)于，有，

綜上，當(dāng)時(shí)，在，且時(shí)，不等式成立．