Question

（2013•山東）設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x²-3xy+4y²-z=0．則當(dāng)

xy

z

取得最大值時(shí)，

2

x

+

1

y

-

2

z

的最大值為（　�。�

• A．0
• B．1
• C．

  9

  4

• D．3

Answer 1

分析：依題意，當(dāng)

xy

z

取得最大值時(shí)x=2y，代入所求關(guān)系式f（y）=

2

x

+

1

y

-

2

z

，利用配方法即可求得其最大值．

解答：解：∵x²-3xy+4y²-z=0，
∴z=x²-3xy+4y²，又x，y，z均為正實(shí)數(shù)，
∴

xy

z

=

xy

x2-3xy+4y2

=

1

x y + 4y x -3

≤

1

2 x y × 4y x -3

=1（當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)取“=”），
∴(

xy

z

)max=1，此時(shí)，x=2y．
∴z=x²-3xy+4y²=（2y）²-3×2y×y+4y²=2y²，
∴

2

x

+

1

y

-

2

z

=

1

y

+

1

y

-

1

y2

=-(

1

y

-1)2+1≤1．
∴

2

x

+

1

y

-

2

z

的最大值為1．
故選B．

點(diǎn)評：本題考查基本不等式，由

xy

z

取得最大值時(shí)得到x=2y是關(guān)鍵，考查配方法求最值，屬于中檔題．