Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和零點(diǎn)；

（2）若恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間：；單調(diào)遞增區(qū)間：；零點(diǎn)為：（2）

【解析】

（1）求導(dǎo)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)得到單調(diào)區(qū)間；令，再結(jié)合單調(diào)性可知唯一零點(diǎn)為；（2）將不等式轉(zhuǎn)化為圖像恒在上方，利用臨界狀態(tài)，即直線與相切的情況，求得相切時(shí)；從而可構(gòu)造出，利用導(dǎo)數(shù)求得，由此可得取值范圍.

（1）

令，解得：

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為

令，解得：

所以函數(shù)的零點(diǎn)是

（2）畫(huà)出的大致圖像，如圖所示

設(shè)，則的圖像恒過(guò)點(diǎn)

設(shè)函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線過(guò)點(diǎn)

所以，

的圖像在處的切線方程為

將代入切線方程，得

整理得：

設(shè)

令，得或

所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

又，，

所以是方程的唯一解

所以過(guò)點(diǎn)且與的圖像相切的直線方程為

令，則

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

又，即在上恒成立

即函數(shù)的圖像恒在其切線的上方

數(shù)形結(jié)合可知，的取值范圍