Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都為4，D為的CC₁中點．
（1）求證：AB₁⊥平面A₁BD；
（2）求二面角A-A₁D-B的余弦值．

Answer 1

（1）證明：取BC中點O，連接AO，∵△ABC為正三角形，∴AO⊥BC，
∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，∴AO⊥平面BCC₁B₁，
取B₁C₁中點為O₁，以O(shè)為原點，，，的方向為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
則．
∴，，．
∵，．
∴，，
∴AB₁⊥面A₁BD．
（2）設(shè)平面A₁AD的法向量為，．，
∴，∴，?，
令z=1，得為平面A₁AD的一個法向量，由（1）知AB₁⊥面A₁BD，
∴為平面A₁AD的法向量，，
∴二面角A-A₁D-B的余弦值為．
分析：（1）通過建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積?，即可證明AB₁⊥平面A₁BD；
（2）利用兩個平面的法向量的夾角即可得到二面角．
點評：熟練掌握：通過建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系的方法，利用數(shù)量積與垂直的關(guān)系證明線面垂直；利用兩個平面的法向量的夾角得到二面角．