Question

在數(shù)1和100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這n+2個(gè)數(shù)的乘積記作T_n，再令a_n=lgT_n，n≥1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求證：．
（Ⅲ）設(shè)b_n=tana_n•tana_n+1，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

（Ⅰ）解：由題意，數(shù)1和100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這n+2個(gè)數(shù)的乘積記作T_n，
由等比數(shù)列的性質(zhì)，序號(hào)的和相等，則項(xiàng)的乘積也相等知T_n=，
又a_n=lgT_n，（n≥1），
∴a_n=lgT_n=lg=lg10ⁿ⁺²=n+2；
（Ⅱ）證明：tan1=tan[（k+1）-k]=
∴
（Ⅲ）解：b_n=tana_n•tana_n+1=tan（n+2）tan（n+3）=-1
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=++…+-n
=-n
分析：（Ⅰ）由等比數(shù)列的性質(zhì)，序號(hào)的和相等，則項(xiàng)的乘積也相等知T_n=，結(jié)合a_n=lgT_n，（n≥1），即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）利用差角的正切公式，即可證得結(jié)論；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的結(jié)論，累加，即可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)，再結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)用性質(zhì)得出求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，本題考查了綜合利用知識(shí)轉(zhuǎn)化變形的能力