Question

【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，其右焦點(diǎn)為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線相切.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）經(jīng)過點(diǎn)的直線，分別交橢圓于，及，四點(diǎn)，且，探究：是否存在常數(shù)，使得.

Answer 1

【答案】（1）（2），使得恒成立.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得到，再由a,b,c的關(guān)系可得到每一個(gè)參數(shù)值；（Ⅱ）（�。┊�(dāng)與其中一條直線的斜率不存在時(shí)，易知，其中一個(gè)為長軸，另一個(gè)為通徑，可代入驗(yàn)證，求得參數(shù)值；（ⅱ）當(dāng)與斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)的方程為，則的方程，分別聯(lián)立兩直線和橢圓方程，結(jié)合弦長公式和韋達(dá)定理得到參數(shù)值.

（Ⅰ）設(shè)所求橢圓的方程為，

由點(diǎn)到直線的距離為，故，

又，所以，

故所求橢圓的方程為；

（Ⅱ） 假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，則，

（ⅰ）當(dāng)與其中一條直線的斜率不存在時(shí)，易知，其中一個(gè)為長軸，另一個(gè)為通徑，長軸長為，通徑為，

此時(shí)，

（ⅱ）當(dāng)與斜率存在且不為零時(shí)，不妨設(shè)的方程為，

則的方程，聯(lián)立方程，消去可得

，設(shè)，，

則 ，所以

，

將代入，化簡可得，

在的表達(dá)式中用“”代“”可得，

所以 .

綜合（�。�（ⅱ）可知存在常數(shù)，使得恒成立.