Question

已知函數(shù)是奇函數(shù)，（其中)

(1)求實數(shù)m的值；

(2)在時，討論函數(shù)f(x)的增減性；

(3)當x時，f(x)的值域是（1，），求n與a的值。

 

Answer 1

【答案】

(1)；(2)與上都是增函數(shù)；(3)．

【解析】

試題分析：(1)奇函數(shù)對應的是，由此可求出；(2)對函數(shù)，判斷它的單調(diào)性，應先求出定義域，然后在定義域的兩個區(qū)間與上分別用單調(diào)性的定義來說明函數(shù)的單調(diào)性，這里可以先討論對數(shù)的真數(shù)的單調(diào)性，如設，，判斷出這個差是正數(shù)后，即得，而由于，則有，于是可得函數(shù)在上是遞增的；(3)已知條件是函數(shù)的值域是，因此我們可以由值域來求自變量的取值范圍，即，由于，不等式可轉(zhuǎn)化為，故，這就應該是已知的范圍，從而有，，可得結(jié)論．

試題解析：（1）          4分

（2）由（1），定義域為.         5分

討論在上函數(shù)的單調(diào)性.

任取、，設，令，則，，

所以

因為，，，所以，，

所以.          7分

 又當時，是減函數(shù)，所以.由定義知在上函數(shù)是增函數(shù).          8分

又因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以在上函數(shù)也是增函數(shù).         9分

（3）當時，要使的值域是，則，所以，即，          11分

而，上式化為，又，所以當時，；當時，；          13分

因而，欲使的值域是，必須，所以對上述不等式，當且僅當時成立，所以解得，.           18分

考點：(1)奇函數(shù)的定義；(2)函數(shù)的單調(diào)性；(3)函數(shù)的值域與定義域．