Question

定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=

-2x+1

2x+1+2

，若對(duì)任意的 t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，則k的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先用定義判斷函數(shù)f（x）的奇偶性、單調(diào)性，由奇偶性、單調(diào)性可把不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0轉(zhuǎn)化為具體不等式，根據(jù)二次函數(shù)的圖象特征可得k的限制不等式，解出即可．

解答：解：定義域R關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f（-x）=

-2-x+1

2-x+1+2

=

-1+2x

2+2x+1

=-f（x），
所以f（x）為奇函數(shù)，
又f（x）=-

2x+1-2

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，則f（x）為減函數(shù)．
由f（x）為奇函數(shù)得，f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0可化為f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²）．
由f（x）單調(diào)遞減得，t²-2t＞k-2t²，
所以不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，等價(jià)于t²-2t＞k-2t²恒成立，即3t²-2t-k＞0對(duì)任意t恒成立，
所以有4+12k＜0，解得k＜-

1

3

．
所以k的取值范圍是：k＜-

1

3

．
故答案為：k＜-

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷及應(yīng)用，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．