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          精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          
			
          
				
          已知橢圓E的長軸是短軸的2倍，且經過點（1，0）
            
             （1）求橢圓E的標準方程；
            
             （2）若過點M（0，1）的直線l交橢圓E（取焦點在y軸上的橢圓）于點A、B，點P是線段AB的中點，當l繞點M旋轉時，求動點P的軌跡方程.
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          解：（1）設所求橢圓的標準方程為： 
            
          由已知得a=2b,且過點（１，０）
            
            
             （2）解法一：直線l過點M（0，1）設其斜率為k，則l的方程為
            
          記、由題設可得點A、B的坐標、是方程組
            
            
            
                
              
                         
          ②
                              		    
             
                        		  
           
              
            
                
              
                         
          ①
                              		    
             
                        		  
           
                             的解.
            
          將①代入②并化簡得，，所以
            
          于是
            
            
          設點P的坐標為則
            
          消去參數k得     ③
            
          當k不存在時，A、B中點為坐標原點（0，0），也滿足方程③，所以點P的軌跡方
            
          程為
            
          解法二：設點P的坐標為，因、在橢圓上，所以
            
            ④               ⑤
            
          ④―⑤得，所以
            
            
          當時，有      ⑥
            
          并且    ⑦   將⑦代入⑥并整理得     ⑧
            
          當時，點A、B的坐標為（0，2）、（0，－2），
            
          這時點P的坐標為（0，0）也滿足⑧，
            
          所以點P的軌跡方程為
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知橢圓E的方程為
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a＞b＞0)          ，長軸是短軸的2倍，且橢圓E過點(
          		2
          ，
          		2
          2
          )          ；斜率為k（k＞0）的直線l過點A（0，2），
          n
          為直線l的一個法向量，坐標平面上的點B滿足條件|
          n
          •
          AB
          |=|
          n
          |          ．
          （1）寫出橢圓E方程，并求點B到直線l的距離；
          （2）若橢圓E上恰好存在3個這樣的點B，求k的值．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          精英家教網已知中心在原點O，焦點在x軸上的橢圓C的離心率為
          		3
          2
          ，點A，B分別是橢圓C的長軸、短軸的端點，點O到直線AB的距離為
          6
          		5
          5
          ．
          （1）求橢圓C的標準方程；
          （2）已知點E（3，0），設點P、Q是橢圓C上的兩個動點，滿足EP⊥EQ，求
          EP
          •
          QP
          的取值范圍．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          精英家教網如圖，已知中心在原點O、焦點在x軸上的橢圓C的離心率為
          		3
          2
          ，點A、B分別是橢圓C的長軸、短軸的端點，點O到直線AB的距離為
          6
          		5
          5
          ．
          （Ⅰ）求橢圓C的方程；
          （Ⅱ）已知點E（3，0），設點P、Q是橢圓C上的兩個動點，滿足EP⊥EQ，求
          EP
          •
          QP
          的最小值．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          定義：離心率e=
          		5
          -1
          2
          的橢圓為“黃金橢圓”，已知橢圓E：
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a＞b＞0)          的一個焦點為F（c，0）（c＞0），P為橢圓E上的任意一點．
          （1）試證：若a，b，c不是等比數列，則E一定不是“黃金橢圓”；
          （2）沒E為黃金橢圓，問：是否存在過點F、P的直線l，使l與y軸的交點R滿足
          RP
          =-2
          PF
          ？若存在，求直線l的斜率k；若不存在，請說明理由；
          （3）已知橢圓E的短軸長是2，點S（0，2），求使
          SP
          2          取最大值時點P的坐標．
          

			
          

			
          
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