Question

定義：離心率e=

5 -1

2

的橢圓為“黃金橢圓”，已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F（c，0）（c＞0），P為橢圓E上的任意一點(diǎn)．
（1）試證：若a，b，c不是等比數(shù)列，則E一定不是“黃金橢圓”；
（2）沒(méi)E為黃金橢圓，問(wèn)：是否存在過(guò)點(diǎn)F、P的直線(xiàn)l，使l與y軸的交點(diǎn)R滿(mǎn)足

RP

=-2

PF

？若存在，求直線(xiàn)l的斜率k；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）已知橢圓E的短軸長(zhǎng)是2，點(diǎn)S（0，2），求使

SP

2取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）假設(shè)E為黃金橢圓，則c=

5 -1

2

a，所以b²=a²-c²=

5 -1

2

a2=ac，與已知矛盾，故橢圓E一定不是“黃金橢圓”．
（2）依題假設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k（x-c），令x=0，y=-kc，即點(diǎn)R的坐標(biāo)為（0，-kc），由

RP

=-2

PF

，點(diǎn)F（c，0），知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2c，kc），所以點(diǎn)P在橢圓上，由此導(dǎo)出k2=

1-4e2

e

＜0，與k²≥0矛盾．所以，滿(mǎn)足題意的直線(xiàn)不存在．
（3）依題有b²=1，由點(diǎn)P（x₁，y₁）在E上知x₁²=a²（1-y₁²），所以

SP

 2=|

SP

|2=x₁²+（y₁-2）²=（1-a²）(y1-

2

1-a2

)2+(a2+4)-

4

1-a2

．由此能求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）假設(shè)E為黃金橢圓，則e=

c

a

=

5 -1

2

，即c=

5 -1

2

a…（1分）
∴b²=a²-c²
=a2-(

5 -1

2

a)2
=

5 -1

2

a2
=ac．…（3分）
即a，b，c成等比數(shù)列，與已知矛盾，
故橢圓E一定不是“黃金橢圓”．…（4分）
（2）依題假設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k（x-c），
令x=0，y=-kc，即點(diǎn)R的坐標(biāo)為（0，-kc），
∵

RP

=-2

PF

，點(diǎn)F（c，0），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2c，kc）…（6分）
∴點(diǎn)P在橢圓上，
∴

4c2

a2

+

k2c2

b2

=1．
∵b²=ac，∴4e²+k²e=1，
故k2=

1-4e2

e

＜0，與k²≥0矛盾．
所以，滿(mǎn)足題意的直線(xiàn)不存在．…（9分）
（3）依題有b²=1，由點(diǎn)P（x₁，y₁）在E上知x₁²=a²（1-y₁²），
∴

SP

 2=|

SP

|2=x₁²+（y₁-2）²
=（1-a²）y₁²-4y₁+（a²+4）
=（1-a²）(y1-

2

1-a2

)2+(a2+4)-

4

1-a2

．
∵a＞1，
∴1-a²＜0，又-1≤y₁≤1，…（11分）
①當(dāng)1＜a≤

3

時(shí)，

2

1-a2

≤-1，
∴SP²是y₁∈[-1，1]的減函數(shù)，
故y₁=-1時(shí)，SP²取得最大值，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，-1）．
②當(dāng)a＞

3

時(shí)，-1＜

2

1-a2

＜1，
∴y1=

2

1-a2

時(shí)，

SP

 2取得最大值，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(±

a

a2-1

a4-2a2-3

，

2

1-a2

)…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線(xiàn)與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．