Question

△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c．
（Ⅰ）若b2+c2-a2=

1

2

bc，求cosA的值；
（Ⅱ）若A∈[

π

2

，

2π

3

]，求sin2

B+C

2

+cos2A的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）欲求cosA根據(jù)條件，借助余弦定理即得
（2）利用降冪公式和二倍角公式化簡成關于cosA的二次函數(shù)進行求解

解答：解：（Ⅰ）∵b2+c2-a2=

1

2

bc，
∴

b2+c2-a2

2bc

=

1

4

．∴cosA=

1

4

．（5分）
（Ⅱ）sin2

B+C

2

+cos2A
=

1-cos(B+C)

2

+2cos2A-1=

1

2

+

1

2

cosA+2cos2A-1
=2cos²A+

1

2

cosA-

1

2

=2（cosA+

1

8

）²-

17

32

，（9分）
∵A∈[

π

2

，

2π

3

]，
∴cosA∈[-

1

2

，0]．
∴2（cosA+

1

8

）²-

17

32

∈[-

17

32

，-

1

4

]．
即sin2

B+C

2

+cos2A的取值范圍是[-

17

32

，-

1

4

]．（13分）

點評：本題綜合考查了余弦定理，二次函數(shù)的最值問題，通過換元法轉化成二次函數(shù)進行求解．