Question

【題目】已知橢圓，圓，圓：，橢圓C與圓C1、圓C2均相切．

（1）求橢圓C的方程；

（2）直線l與圓C1相切同時(shí)與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）由橢圓C與圓C1、圓C2均相切，可得出橢圓的與圓C1、圓C2半徑的關(guān)系，進(jìn)而求出橢圓C的方程；

（2）假設(shè)直線l方程，由直線方程與橢圓C方程聯(lián)立，計(jì)算出弦長(zhǎng)|AB|，根據(jù)直線與圓相切需滿足的條件進(jìn)一步求出|AB|的最大值.

（1）由題易知的半徑，圓的半徑．

又橢圓與同時(shí)相切，則，

則橢圓C的方程：．

（2）①當(dāng)斜率為0時(shí)，與橢圓相切，不符合題意．

②當(dāng)斜率不為0時(shí)，設(shè)：，

原點(diǎn)到的距離，即.

由

可得：，

設(shè)，由韋達(dá)定理得：

，，

，

可得，

令，則，

=3t+在上單調(diào)遞增，

則，即時(shí)，．