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        1. 【題目】已知函數(shù).

          (1)若函數(shù)恰有一個零點,求實數(shù)的取值范圍;

          (2)設(shè)關(guān)于的方程的兩個不等實根,求證:(其中為自然對數(shù)的底數(shù)).

          【答案】(1) (2)見解析

          【解析】試題分析:(1)求出函數(shù)的定義域和導函數(shù),對參數(shù)m進行討論得出函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)零點存在性定理判斷零點的個數(shù),求出m的取值范圍;(2) 記函數(shù),,則函數(shù)的兩個相異零點為,將零點代入寫出方程,并對兩式相加和相減,再利用分析法以及變量集中構(gòu)造新函數(shù),并利用導數(shù)求最值的方法證得命題成立.

          試題解析:

          (1)由題意知的定義域為

          .

          ①當時,在區(qū)間上單調(diào)遞增,

          ,即函數(shù)在區(qū)間有唯一零點;

          ②當時,,

          ,得.

          又易知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,

          恰有一個零點.

          ③當時,令,得

          在區(qū)間上,,函數(shù)單調(diào)遞增;

          在區(qū)間上,,函數(shù)單調(diào)遞減,

          故當時,取得極大值,

          且極大值為,無極小值.

          恰有一個零點,則,解得,

          綜上所述,實數(shù)的取值范圍為.

          (2)記函數(shù),,

          則函數(shù)的兩個相異零點為

          不妨設(shè)

          ,

          ,,

          兩式相減得,

          兩式相加得.

          ∴要證,即證,

          只需證,

          只需證,

          即證

          設(shè),則上式轉(zhuǎn)化為,

          設(shè),,

          在區(qū)間上單調(diào)遞增,

          ,∴,

          ,即.

          點睛:本題考查函數(shù)的應(yīng)用,利用導數(shù)解決函數(shù)的零點以及函數(shù)的單調(diào)性,最值和不等式的證明等問題. 本題也考查了零點存在性定理的應(yīng)用,如果函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有,那么函數(shù)在區(qū)間[a,b]內(nèi)有零點,即存在,使得,這個c也就是方程的實數(shù)根.但是反之不一定成立.

          練習冊系列答案
          相關(guān)習題

          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          【題目】定義在上的函數(shù)滿足對于任意實數(shù),都有,且當時,,

          1)判斷的奇偶性并證明;

          2)判斷的單調(diào)性,并求當時,的最大值及最小值;

          3)解關(guān)于的不等式.

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          (1) 求函數(shù)q(x)的表達式;

          (2) 當x為多少時,總利潤(單位:元)取得最大值,并求出該最大值.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          【題目】全國糖酒商品交易會將在四川舉辦.展館附近一家川菜特色餐廳為了研究參會人數(shù)與本店所需原材料數(shù)量的關(guān)系,在交易會前查閱了最近5次交易會的參會人數(shù)(萬人)與餐廳所用原材料數(shù)量(袋),得到如下數(shù)據(jù):

          舉辦次數(shù)

          第一次

          第二次

          第三次

          第四次

          第五次

          參會人數(shù)(萬人)

          11

          9

          8

          10

          12

          原材料(袋)

          28

          23

          20

          25

          29

          (Ⅰ)請根據(jù)所給五組數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程;

          (Ⅱ)若該店現(xiàn)有原材料12袋,據(jù)悉本次交易會大約有13萬人參加,為了保證原材料能夠滿足需要,則該店應(yīng)至少再補充原材料多少袋?

          (參考公式:,

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          【題目】春節(jié)過后,某市教育局從全市高中生中抽去了100人,調(diào)查了他們的壓歲錢收入情況,按照金額(單位:百元)分成了以下幾組:,,.統(tǒng)計結(jié)果如下表所示:

          該市高中生壓歲錢收入可以認為服從正態(tài)分布,用樣本平均數(shù)(每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點值)作為的估計值.

          (1)求樣本平均數(shù);

          (2)求

          (3)某文化公司贊助了市教育局的這次社會調(diào)查活動,并針對該市的高中生制定了贈送“讀書卡”的活動,贈送方式為:壓歲錢低于的獲贈兩次讀書卡,壓歲錢不低于的獲贈一次讀書卡.已知每次贈送的讀書卡張數(shù)及對應(yīng)的概率如下表所示:

          現(xiàn)從該市高中生中隨機抽取一人,記(單位:張)為該名高中生獲贈的讀書卡的張數(shù),求的分布列及數(shù)學期望.

          參考數(shù)據(jù):若,則.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          【題目】設(shè)M為滿足下列條件的函數(shù)構(gòu)成的集合,存在實數(shù),使得.

          1)判斷是否為M中的元素,并說明理由;

          2)設(shè),求實數(shù)a的取值范圍;

          3)已知的圖象與的圖象交于點,證明:中的元素,并求出此時的值(用表示).

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          【題目】下面幾種推理中是演繹推理的為( )

          A. 由金、銀、銅、鐵可導電,猜想:金屬都可導電

          B. 猜想數(shù)列的通項公式為

          C. 半徑為的圓的面積,則單位圓的面積

          D. 由平面直角坐標系中圓的方程為,推測空間直角坐標系中球的方程為

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          【題目】在一個文藝比賽中,12名專業(yè)人士和12名觀眾代表各組成一個評委小組,給參賽選手打分,下面是兩組評委對同一名選手的打分:

          小組A 42 45 48 46 52 47 49 55 42 51 47 45

          小組B 55 36 70 66 75 49 46 68 42 62 58 47

          1)選擇一個可以度量每一組評委打分相似性的量,并對每組評委的打分計算度量值.

          2)你能據(jù)此判斷小組A和小組B中哪一個更像是由專業(yè)人土組成的嗎?

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          【題目】已知集合,若,求實數(shù)的取值范圍.

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