Question

已知一個(gè)圓錐的底面半徑為R，高為H，在其中有一個(gè)高為x的內(nèi)接圓柱，
（1）求此圓柱的側(cè)面積表達(dá)式；
（2）x為何值時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大？

Answer 1

分析：（1）由題意，圓柱的高已知為x，故求出圓柱底面的半徑r關(guān)于x的表達(dá)式，再由公式求出側(cè)面積的表達(dá)式，由圖知，求底面半徑可利用過軸的截面建立比例關(guān)系

r

R

=

H-x

H

，從中解出底面半徑表達(dá)式；
（2）由（1）S圓柱側(cè)面=2πRx-

2πR

H

x2，此是一個(gè)關(guān)于圓柱高的二次函數(shù)，由二次函數(shù)的知識(shí)判斷出函數(shù)的最值，即可得到圓柱側(cè)面積的最大值，同時(shí)求出此時(shí)的x的值

解答：解：（1）過圓錐及內(nèi)接的圓柱的軸作截面，如圖：
因?yàn)?span id="1o0dy0w" class="MathJye">

r

R

=

H-x

H

，所以r=R-

R

H

x，
從而S圓柱側(cè)面=2πrx=2πRx-

2πR

H

x2．
（2）由（1）S圓柱側(cè)面=2πRx-

2πR

H

x2
因?yàn)?span id="qtijxq8" class="MathJye">-

2πR

H

＜0，
所以當(dāng)x=-

b

2a

=

2πR

4πR H

=

H

2

時(shí)，S_側(cè)最大，
從而當(dāng)x=

H

2

，即圓柱的高為圓錐高的一半時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大．

點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體中的最值問題，解題的關(guān)鍵是建立起圓柱側(cè)面積的函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)的最值求側(cè)面積的最值，本題的難點(diǎn)是作出旋轉(zhuǎn)體的軸截面，由此截面上的比例關(guān)系將底面半徑用高表示出來，從而由公式建立起側(cè)面積關(guān)于高x的函數(shù)關(guān)系，這也是本題的重點(diǎn)，本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想，函數(shù)的思想，利用函數(shù)求最值是函數(shù)的一個(gè)重要運(yùn)用，