Question

已知一個圓錐的底面半徑為R，高為h，在圓錐內(nèi)部有一個高為x的內(nèi)接圓柱．
（1）畫出圓錐及其內(nèi)接圓柱的軸截面；
（2）求圓柱的側(cè)面積；               
（3）當(dāng)x為何值時，圓柱的側(cè)面積最大？

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)條件能畫出圓錐及其內(nèi)接圓柱的軸截面．
（2）設(shè)所求的圓柱的底面半徑為r．它的側(cè)面積S=2πrx，由

r

R

=

h-x

h

，能求出圓柱的側(cè)面積．
（3）由圓柱的側(cè)面積S是關(guān)于x的二次函數(shù)S=-

2πR

h

x2+2πRx，能推導(dǎo)出當(dāng)圓柱的高是已知圓錐的一半時，它的側(cè)面積最大．

解答：解：（1）圓錐及其內(nèi)接圓柱的軸截面如圖所示．
（2）設(shè)所求的圓柱的底面半徑為r．它的側(cè)面積S=2πrx，
∵

r

R

=

h-x

h

，∴r=R-

R

h

•x，
∴S=2πRx-

2πR

h

x2．
（3）由（2）知圓柱的側(cè)面積S是關(guān)于x的二次函數(shù)：
S=-

2πR

h

x2+2πRx，
∵S的表達(dá)式中x²的系數(shù)小于0，
∴這個二次函數(shù)有最大值，
這時圓柱的高x=-

2πR

-2• 2πR h

=

h

2

，
即當(dāng)圓柱的高是已知圓錐的一半時，它的側(cè)面積最大．

點評：本題考查圓錐及其內(nèi)接圓柱的軸截面的畫法，考查圓柱的側(cè)面積的求法，考查圓柱的側(cè)面積的最大值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．