Question

（2012•甘肅一模）（理科）已知函數(shù)f(x)=3sin2x+2

3

sinxcosx+cos2x，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值與單調遞增區(qū)間；
（2）求使函數(shù)f（x）的導函數(shù)f'（x）≥2成立的x的集合．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式及輔助角公式化簡函數(shù)，由此可求函數(shù)f（x）的最大值與單調遞增區(qū)間；
（2）由f（x）=2+sin（2x-

π

6

）得f′(x)=4cos(2x-

π

6

)，由f'（x）≥2，建立不等式，從而可求使函數(shù)f（x）的導函數(shù)f'（x）≥2成立的x的集合．

解答：解：（1）f(x)=3sin2x+2

3

sinxcosx+cos2x=2+2（

3

2

sin2x-

1

2

cos2x）=2+sin（2x-

π

6

）
∴當sin（2x-

π

6

）=1時，函數(shù)f（x）取得最大值4；
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z）
∴函數(shù)的單調遞增區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）；
（2）由f（x）=2+sin（2x-

π

6

）得f′(x)=4cos(2x-

π

6

)
由f'（x）≥2得cos(2x-

π

6

)≥

1

2

，∴2kπ-

π

3

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

3

（k∈Z）
∴kπ-

π

12

≤x≤kπ+

π

4

（k∈Z）
∴使函數(shù)f（x）的導函數(shù)f'（x）≥2成立的x的集合為{x|kπ-

π

12

≤x≤kπ+

π

4

，k∈Z}．

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡，考查三角函數(shù)的性質，考查學生的計算能力，屬于中檔題．