Question

已知橢圓的離心率為．
（I）若原點到直線x+y-b=0的距離為，求橢圓的方程；
（II）設(shè)過橢圓的右焦點且傾斜角為45°的直線l和橢圓交于A，B兩點．
（i）當(dāng)，求b的值；
（ii）對于橢圓上任一點M，若，求實數(shù)λ，μ滿足的關(guān)系式．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意知b=2，a²=12，b²=4．由此可知橢圓的方程為．
（II）（i）由題意知橢圓的方程可化為：x²+3y²=3b²，AB：，所以．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），，所以b=1．
（II）（ii）顯然與可作為平面向量的一組基底，由平面向量基本定理，對于這一平面內(nèi)的向量，有且只有一對實數(shù)λ，μ，使得等成立．同上經(jīng)可知λ²+μ²=1．
解答：解：（I）∵，∴∵，∴∵，∴解得a²=12，b²=4．
橢圓的方程為．（4分）
（II）（i）∵，∴．橢圓的方程可化為：x²+3y²=3b²①
易知右焦點，據(jù)題意有AB：②
由①，②有：③
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴b=（18分）
（II）（ii）顯然與可作為平面向量的一組基底，由平面向量基本定理，對于這一平面內(nèi)的向量，有且只有一對實數(shù)λ，μ，使得等成立．
設(shè)M（x，y），∵（x，y）=λ（x₁，y₁）+μ（x₂，y₂），∴x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂，
又點M在橢圓上，∴（λx₁+μx₂）²+3（λy₁+μy₂）²=3b²④
由③有：
則3b²-9b²+6b²=0⑤
又A，B在橢圓上，故有x₁²+3y₁²=3b²，x₂²+3y₂²=3b²⑥
將⑥，⑤代入④可得：λ²+μ²=1．（14分）
點評：本題考查圓錐曲線的位置關(guān)系和綜合應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．