Question

已知函數(shù)f（x）=ln²（1+x）+2ln（1+x）-2x
（1）求f（x）在（e-1，f（e-1））處切線方程
（2）求證：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減
（3）若不等式(1+

1

n

)2n+a≤e2對任意的n∈N^*都成立，求實(shí)數(shù)a的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在x=e-1處的導(dǎo)數(shù)，得到切線的斜率，然后根據(jù)點(diǎn)斜式可得切線方程；
（2）這是一個一般的函數(shù)，所以用導(dǎo)數(shù)法，即證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上的導(dǎo)數(shù)恒小于零．
（3）先將不等式(1+

1

n

)2n+a≤e2對任意的n∈N^*都成立，兩邊取自然對數(shù)，轉(zhuǎn)化為不等式

a

2

≤

1

ln(1+ 1 n )

-n恒成立，再用導(dǎo)數(shù)法求G(x)=

1

ln(x+1)

 -

1

x

，x∈(0，1]最小值即可．

解答：解：f（x）=2ln（1+x）•

1

1+x

+

2

1+x

-2
（1）由于k=f′(e-1)=

4

e

-2，f（e-1）=ln²（1+e-1）+2ln（1+e-1）-2（e-1）=5-2e
故切線方程y-（5-2e）=(

4

e

-2)[x-(e-1)]，
整理得f（x）在（e-1，f（e-1））處切線方程：
（2e-4）x+ey+5e-4=0；
（2）f′(x)=

2[ln(1+x)-x]

1+x

設(shè)g（x）=ln（1+x）-x，x∈[0，1）
則g′(x)=

1

1+x

-1≤0
函數(shù)g（x）在x∈（0，1）上單調(diào)遞減，∴g（x）＜g（0）=0，
∴f′（x）＜0在x∈（0，1）上恒成立，
∴函數(shù)f（x）在x∈（0，1）上單調(diào)遞減；
（3）對不等式(1+

1

n

)2n+a≤e2的兩邊取自然對數(shù)，得到不等式(n+

a

2

)ln(1+

1

n

)≤1，
由1+

1

n

 ＞1知，不等式

a

2

≤

1

ln(1+ 1 n )

-n恒成立，
設(shè)G(x)=

1

ln(x+1)

 -

1

x

，x∈(0，1]，
則G′(x)=-

1

(1+x)ln2(1+x)

+

1

x2

=

(1+x)ln2(1+x)-x2

x2(1+x)ln2(1+x)

設(shè)h（x）=（1+x）ln²（1+x）-x²（x∈[0，1]）
h′（x）=ln²（1+x）+2ln（1+x）-2x，
由（2）知x∈（0，1）時，h′（x）＜h′（0）=0
∴函數(shù)h（x）在x∈（0，1）上單調(diào)遞減，
h（x）＜h（0）=0
∴G′（x）＜0，∴函數(shù)G（x）在x∈（0，1]上單調(diào)遞減．
∴G(x)≥G(1)=

1

ln2

-1，
故函數(shù)G（x）在（{0，1}]上的最小值為G（1）=

1

ln2

-1，
即

a

2

≤

1

ln2

-1，
∴a的最大值為

2

ln2

-2．

點(diǎn)評：本題主要通過函數(shù)的單調(diào)性及恒成立問題來考查用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值問題．