Question

已知函數(shù)
（I）求函數(shù)的極值；
（II）對于函數(shù)和定義域內(nèi)的任意實數(shù),若存在常數(shù),使得不等式和都成立,則稱直線是函數(shù)和的“分界線”．
設(shè)函數(shù)，，試問函數(shù)和是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程．若不存在請說明理由．

Answer 1

（I）,無極大值；（II）函數(shù)和存在“分界線”，方程為．

試題分析：（I）首先求函數(shù)的定義域，解方程得可能的極值點，進一步得的單調(diào)性，最后根據(jù)導函數(shù)在零點附近的變號情況求的極值；（II）函數(shù)和的圖象在處有公共點.設(shè)函數(shù)和存在“分界線”，方程為，由對任意恒成立，確定常數(shù)，從而得“分界線”的方程為，再證明在時也恒成立，最后確定函數(shù)和的“分界線”就是直線．
試題解析：（I）．
令得，
所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，
又，
所以,無極大值.  
（II）由（I）知，
所以函數(shù)和的圖象在處有公共點.  
設(shè)函數(shù)和存在“分界線”，方程為，
應(yīng)有對任意恒成立，即在時恒成立，
于是，得，
則“分界線”的方程為． 
記，則
令得，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，
當時，函數(shù)取得最大值，即在時恒成立.  
綜上所述，函數(shù)和存在“分界線”，方程為 ……