Question

四棱錐S-ABCD的三視圖和直觀圖如圖所示，其中主視圖和左視圖為兩個(gè)全等的直角三角形，俯視圖為正方形，M，N，P分別為AB，SA，AD的中點(diǎn)．
（1）求四棱錐S-ABCD的體積和表面積；
（2）求證：直線MC⊥平面BPN．

Answer 1

分析：（1）由三視圖找到四棱錐的邊長關(guān)系和垂直關(guān)系，進(jìn)而求體積和表面積
（2）先證明線線垂直，再用線面垂直的判定定理證明線面垂直

解答：（1）解：由三視圖知SD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，AB=1，SD=2
∴底面ABCD的面積S=1×1=1
V_S-ABCD=

1

3

×S×SD=

1

3

×1×2=

2

3

又由題意知AB⊥AD，AB⊥SD，且AD∩SD=D
∴AB⊥面SAD
∴AD⊥SA
同理可證BC⊥SC
∴△SAB，△SBC是直角三角形
∴S_表=S_△SAD+S_△SCD+S_△SAB+S_△SBC+S=

1

2

×AD×SD+

1

2

×CD×SD+

1

2

×AB×SA+

1

2

×BC×SC+AB×BC
=

1

2

×1×2+

1

2

×1×2+

1

2

×1×

5

+

1

2

×1×

5

+1=3+

5

（2）證明：連接PN，PB，設(shè)PB∩CM=O
則PN∥SD
∴PN⊥面ABCD
又MC?面ABCD
∴PN⊥MC
∵在正方形ABCD中，P、M分別是AD、AB的中點(diǎn)
∴△PAB≌△MBC
∴∠PBA=∠MCB
又∠MCB+∠BMC=90°
∴∠PBA+∠BMC=90°
∴PB⊥MC
又PN∩PB=B，且PN、PB?面BPN
∴MC⊥面BPN

點(diǎn)評：本題考查由三視圖求面積、體積，以及線面垂直的證明，要求能夠從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體的長度關(guān)系和平行垂直關(guān)系，能熟練應(yīng)用線面垂直的判定定理．屬簡單題