Question

【題目】已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)是橢圓上的點(diǎn)，直線(xiàn)與（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率之積為．若動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，試探究是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：(Ⅰ)利用橢圓的離心率計(jì)算公式和點(diǎn)在橢圓上列方程組求解即可得出．
(Ⅱ)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算、點(diǎn)在橢圓上滿(mǎn)足橢圓的方程、斜率計(jì)算公式及其橢圓的定義即可得出．

試題解析：

(Ⅰ)∵ ∴

又∵橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn) ∴

解得：，

所以橢圓的方程為．

（Ⅱ）設(shè)，，，則由得

即，，

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，

所以，

故

設(shè)，分別為直線(xiàn)與的斜率，由題意知，

，因此

所以，

所以點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，

所以由橢圓的定義知存在點(diǎn)，滿(mǎn)足為定值

又因?yàn)?/span>，

所以坐標(biāo)分別為、．