Question

（本小題滿分13分）
在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n=n²[1+++…+] （n≥2，n∈N）
（1）當(dāng)n≥2時(shí)，求證：=
（2）求證：（1+）（1+）…（1+）<4

Answer 1

（1）利用
得到。
（2）當(dāng)時(shí)，

 
驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)， ，綜上所述，對(duì)任意，不等式都成立．

解析試題分析：（1）當(dāng)時(shí)， ……………………1分
所以…………………4分
故 …………………………………………………………5分
（2）當(dāng)時(shí)，……6分
……8分
……10分
 ………………………11分
當(dāng)時(shí)， ……………………………………………………………12分
綜上所述，對(duì)任意，不等式都成立．……………………………………13分
考點(diǎn)：本題主要考查數(shù)列“裂項(xiàng)相消法”求和，“放縮法”證明不等式。
點(diǎn)評(píng)：中檔題，涉及數(shù)列的不等式證明問題，往往需要先求和、再證明。本題（2）利用“裂項(xiàng)相消法”求得“數(shù)列的和”，利用放縮法，達(dá)到證明目的。易錯(cuò)忽視n=1的驗(yàn)證。