Question

在△ABC中，已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A、B、C的對邊，銳角B滿足sinB=

7

4

．
（Ⅰ）求sin2B+cos2

A+C

2

的值．
（Ⅱ）若b=

2

，當(dāng)ac取最大值時，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）由銳角B滿足sinB=

7

4

，求得cosB 的值，再利用二倍角公式化簡要求的式子為2sinBcosB+

1+cos(A+C)

2

，運算求得結(jié)果．
（2）由余弦定理可得 b²=2=a²+c²-2accosB，再由基本不等式求得ac≤4，當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2，由此求得△ABC的面積．

解答：解：（1）∵銳角B滿足sinB=

7

4

，∴cosB=

3

4

．
∴sin2B+cos2

A+C

2

=2sinBcosB+

1+cos(A+C)

2

=

3 7

8

+

1-cosB

2

=

3 7 +1

8

．
（2）由余弦定理可得 b²=2=a²+c²-2accosB≥2ac-2ac×

3

4

，
解得ac≤4，當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時，等號成立，故此時△ABC的面積為

1

2

ac•sinB=

7

2

．

點評：本題主要考查余弦定理，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，誘導(dǎo)公式以及二倍角公式、基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．．