Question

（2011•浦東新區(qū)三模）已知

lim

n→∞

(an+

n

n+1

)=b（其中a，b為常數(shù)），則a²+b²=

1

．

Answer 1

分析：先化簡an+

n

n+1

=

an2+(a+1)n

n+1

，要使極限存在，則a=0，然后分子分母同時除以n，利用已知極限

lim

n→∞

1

n

=0求出原式的極限即可，則b=1，即a²+b²=1

解答：解：由題意知
∵要使

lim

n→∞

(an+

n

n+1

)=

lim

n→∞

an2+(a+1)n

n+1

 極限存在
∴a=0
即 

lim

n→∞

(an+

n

n+1

)=

lim

n→∞

n

n+1

=

lim

n→∞

1

1+ 1 n

=b
  又∵

lim

n→∞

1

n

=0 根據(jù)極限的四則運算可知
   b=1
 那么a²+b²=1 
 故答案為1．

點評：本題主要考查極限的四則運算，屬于基礎(chǔ)題型．