Question

設(shè)f(x)＝2x³＋ax²＋bx＋1的導(dǎo)數(shù)為f′(x)，若函數(shù)y＝f′(x)的圖象關(guān)于直線x＝－對稱，且f′(1)＝0.
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）求函數(shù)f(x)的極值．

Answer 1

（1）a＝3.  b＝－12.（2）函數(shù)f(x)在x₁＝－2處取得極大值f(－2)＝21，在x₂＝1處取得極小值f(1)＝－6.

解析試題分析：（1）先求出的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=，由函數(shù)y＝f′(x)的圖象關(guān)于直線x＝－對稱及二次函數(shù)的性質(zhì)求出，再由f′(1)＝0求出；（2）將（1）中的值代入導(dǎo)函數(shù)中，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性及極值的有關(guān)知識求出的極值.
試題解析：（1）由題知f′(x)= ，
由函數(shù)y＝f′(x)的圖象關(guān)于直線x＝－對稱得，，解得a＝3，
由f′(1)＝0即解得b＝－12. 所以a＝3.  b＝－12.      6分
（2）由（1）知a＝3， b＝－12，所以f′(x)= =，
當(dāng)＜-2或＞1時，＞0，當(dāng)-2＜＜1時，＜0，所以單調(diào)增區(qū)間為（-，-2），（1，+），單調(diào)減區(qū)間為（-2,1），所以函數(shù)f(x)在x₁＝－2處取得極大值f(－2)＝21，
在x₂＝1處取得極小值f(1)＝－6.       12分
考點:常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)的運算法則，二次函數(shù)的對稱性，函數(shù)的極值