Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（8-x-

4a

x

）在區(qū)間[1，2]上恒有意義．
（Ⅰ）求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）把函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值與最小值的差M表示成實數(shù)a的函數(shù)．

Answer 1

分析：（I）因為函數(shù)f（x）=log_a（8-x-

4a

x

）在區(qū)間[1，2]上恒有意義故?x∈[1，2]，有8-x-

4a

x

＞0恒成立轉(zhuǎn)化為 4a＜x（8-x）對?x∈[1，2]恒成立即4a＜[x（8-x）]_min然后利用二次函數(shù)的單調(diào)性判斷求最小值即可．
（Ⅱ）由于f（x）為復合函數(shù)因此要利用復合函數(shù)的單調(diào)性來判斷f（x）的單調(diào)性．由（1）知a∈(0，1)∪(1，

7

4

)
因此要分0＜a＜1，1＜a＜

7

4

來討論故令g（x）=8-x-

4a

x

（1≤x≤2）則g′(x)= 

(2 a -x)(2 a + x)

x2

故導函數(shù)的符號取決于2

a

-x的大小，所以要分2

a

≤1，0＜a≤

1

4

，1＜2

a

＜2，

1

4

＜a＜1，2

a

＞2即a＞1
三種情況來討論只要判斷出單調(diào)性就可求解了．

解答：（本小題滿分13分）
解：（1）?x∈[1，2]，有8-x-

4a

x

＞0
故 4a＜x（8-x），令h（x）=x（8-x）
∴函數(shù)在區(qū)間[1，2]上為增函數(shù)，當x=1時有最小值7，故4a＜7，由a＞0且a≠1
因此a∈(0，1)∪(1，

7

4

)
（Ⅱ）令g（x）=8-x-

4a

x

（1≤x≤2）則g′(x)= 

(2 a -x)(2 a + x)

x2

，，
①當2

a

≤1，0＜a≤

1

4

時g^′（x）≤0，等號成立的條件時當且僅當x=1且2

a

=1，此時g（x）是單調(diào)遞減函數(shù)所以f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，故M=f（2）-f（1）=loga

6-2a

7-4a

②當1＜2

a

＜2，即

1

4

＜a＜1時，
因此當1≤x＜2

a

g^′（x）＞0，g（x）是單調(diào)遞增函數(shù)；
    當2

a

＜x≤2時，g^′（x）＜0，g（x）是單調(diào)遞減函數(shù)；
故g(x)max=g(2

a

)=8-4

a

g(x)min=

6-2a 1 4 ＜a≤ 1 2 7-4a 1 2 ＜a＜1

因此M=loga

g(x)min

g(x)max

=

loga 3-a 4-2 a loga 7-4a 8-4 a 1 2 ＜a＜ 1

1

4

＜a≤

1

2

③當2

a

＞2即a＞1時g^′（x）＞0，g（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，所以f（x）是單調(diào)遞增函數(shù)
故M=f（2）-f（1）=loga

6-2a

7-4a

綜上所述當0＜a≤

1

4

或1＜a＜

7

4

時M=loga

6-2a

7-4a

，當

1

4

＜a≤

1

2

時M=loga

3-a

4-2 a

，當

1

2

＜a＜1時M=loga

7-4a

8-4 a

．

點評：本題主要考查了利用導函數(shù)求閉區(qū)間上的最值．第一問考查了恒成立的問題關(guān)鍵是將恒成立的問題轉(zhuǎn)化為求最大最小值問題故將?x∈[1，2]，有8-x-

4a

x

＞0恒成立轉(zhuǎn)化為 4a＜x（8-x）對?x∈[1，2]恒成立即4a＜[x（8-x）]_min才是解題的關(guān)鍵所在．第二問主要考查了利用同增異減這一法則來判斷復合函數(shù)的單調(diào)性，而求解的關(guān)鍵是要判斷g（x）=8-x-

4a

x

（1≤x≤2）的單調(diào)性即判斷g′(x)= 

(2 a -x)(2 a + x)

x2

的符號故需對a進行討論．