Question

【題目】已知函數(shù)（且）.

（1）若的定義域為，判斷的單調(diào)性，并加以說明；

（2）當時，是否存在，，使得在區(qū)間上的值域為，若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）當時，為減函數(shù)，當時，為增函數(shù).證明見解析；（2）存在，

【解析】

（1）求出函數(shù)定義域，利用定義法證明函數(shù)單調(diào)性，再分類討論得函數(shù)單調(diào)性；

（2）根據(jù)定義域和值域，結(jié)合（1）所得單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為方程有兩個大于3的不同的實數(shù)根，利用根的分布求解.

（1）或.由于的定義域為，則.

設(shè)，有，

故當時，為減函數(shù)，當時，為增函數(shù).

（2）若在上的值域為，

由（1）知當時，為減函數(shù).

則，

即，又，

即，為方程的大于3的兩個不同的實數(shù)根.

從而得.

故當時，存在滿足題意條件的，.