Question

已知圓C的方程為：x²+y²=4
（1）求過點P（2，1）且與圓C相切的直線l的方程；
（2）直線l過點D（1，2），且與圓C交于A、B兩點，若|AB|=2，求直線l的方程；
（3）圓C上有一動點M（x，y），=（0，y），若向量=+，求動點Q的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）分兩種情況考慮：當直線l的斜率不存在時，直線x=2滿足題意；當k存在時，變形出l方程，利用圓心到l的距離d=r列出方程，求出方程的解得到k的值，確定出此時l方程，綜上，得到滿足題意直線l的方程；
（2）分兩種情況考慮：當直線l垂直于x軸時，此時直線方程為x=1，直線l與圓的兩個交點距離為2，滿足題意；
當直線l不垂直于x軸時，設其方程為y-2=k（x-1），求出圓心到直線l的距離d=1，利用點到直線的距離公式列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出此時直線方程，綜上，得到滿足題意直線l的方程；
（3）設Q（x，y），表示出，，代入已知等式中化簡得到x=x，y=2y，代入圓方程變形即可得到Q軌跡方程．
解答：解：（1）當k不存在時，x=2滿足題意；
當k存在時，設切線方程為y-1=k（x-2），
由=2得，k=-，
則所求的切線方程為x=2或3x+4y-10=0；
（2）當直線l垂直于x軸時，此時直線方程為x=1，l與圓的兩個交點坐標為（1，）和（1，-），這兩點的距離為2，滿足題意；
當直線l不垂直于x軸時，設其方程為y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0，
設圓心到此直線的距離為d，
∴d==1，即=1，
解得：k=，
此時直線方程為3x-4y+5=0，
綜上所述，所求直線方程為3x-4y+5=0或x=1；
（3）設Q點的坐標為（x，y），
∵M（x，y），=（0，y），=+，
∴（x，y）=（x，2y），
∴x=x，y=2y，
∵x²+y²=4，
∴x²+（）²=4，即+=1．
點評：此題考查了直線與圓的位置關系，以及與直線有關的軌跡方程，涉及的知識有：垂徑定理，勾股定理，點到直線的距離公式，直線的點斜式方程，以及平面向量的數量積運算，利用了分類討論的思想，分類討論時要求學生考慮問題要全面，做到不重不漏．