Question

【題目】已知三棱錐（如圖1）的平面展開圖（如圖2）中，四邊形為邊長為的正方形，，均為正三角形，在三棱錐中.

（1）求證：平面平面；

（2）若點在棱上，滿足，，點在棱上，且，求得取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）設AC的中點為O，連接BO，PO，先證明PO⊥AC，PO⊥OB，可得PO⊥平面ABC，從而可得結(jié)論；（2）以OC，OB，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，設，求出與的坐標，令，得，化為，利用單調(diào)性可得結(jié)果.

（1）設AC的中點為O，連接BO，PO．

由題意，得PA＝PB＝PC＝，

PO=2，AO=BO=CO=1,
∵在△PAC中，PA=PC，O為AC的中點，∴PO⊥AC，

∵在△POB中，PO=1，OB=1，PB＝，

∴PO⊥OB．

∵AC∩OB=O，AC，OB平面ABC，∴PO⊥平面ABC，
∵PO平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC．

（2）由PO⊥平面ABC，，如圖建立空間坐標系，

則，

設，則，

，

令，得，

即，是關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù)，

當時，，

故的取值范圍為.