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        1. 已知圓O:x2+y2=4,圓O與x軸交于A,B兩點(diǎn),過點(diǎn)B的圓的切線為l,P是圓上異于A,B的一點(diǎn),PH垂直于x軸,垂足為H,E是PH的中點(diǎn),延長AP,AE分別交l于F,C.
          (1)若點(diǎn)P(1,
          3
          ),求以FB為直徑的圓的方程,并判斷P是否在圓上;
          (2)當(dāng)P在圓上運(yùn)動時(shí),證明:直線PC恒與圓O相切.
          分析:(1)先確定直線AP的方程為y=
          3
          3
          (x+2)
          ,求得F(2,
          4
          3
          3
          ),確定直線AE的方程為y=
          3
          6
          (x+2),求得C(2,
          2
          3
          3
          ),由此可得圓的方程;
          (2)設(shè)P(x0,y0),則E(x0,
          y0
          2
          ),求得直線AE的方程,進(jìn)而可確定直線PC的斜率,由此即可證得直線PC與圓O相切.
          解答:(1)證明:由P(1,
          3
          ),A(-2,0)
          ∴直線AP的方程為y=
          3
          3
          (x+2)

          令x=2,得F(2,
          4
          3
          3
          ).(2分)
          由E(1,
          3
          2
          ),A(-2,0),則直線AE的方程為y=
          3
          6
          (x+2),
          令x=2,得C(2,
          2
          3
          3
          ).(4分)
          ∴C為線段FB的中點(diǎn),以FB為直徑的圓恰以C為圓心,半徑等于
          2
          3
          3

          ∴圓的方程為(x-2)2+(y-
          2
          3
          3
          )
          2
          =
          4
          3
          ,且P在圓上;
          (2)證明:設(shè)P(x0,y0),則E(x0,
          y0
          2
          ),則直線AE的方程為y=
          y0
          2(x0+2)
          (x+2)

          在此方程中令x=2,得C(2,
          2y0
          x0+2

          直線PC的斜率為
          2y0
          x0+2
          -y0
          2-x0
          =-
          x0y0
          4
          -x
          2
          0
          =-
          x0
          y0

          若x0=0,則此時(shí)PC與y軸垂直,即PC⊥OP;         (13分)
          若x0≠0,則此時(shí)直線OP的斜率為
          y0
          x0
          ,
          y0
          x0
          ×(-
          x0
          y0
          )=-1
          ∴PC⊥OP
          ∴直線PC與圓O相切.(16分)
          點(diǎn)評:本題考查直線與圓的位置關(guān)系,考查圓的方程,解題的關(guān)鍵是確定圓的圓心與半徑,利用斜率關(guān)系確定直線與圓相切.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)已知圓O:x2+y2=2交x軸于A,B兩點(diǎn),曲線C是以AB為長軸,離心率為
          2
          2
          的橢圓,其左焦點(diǎn)為F.若P是圓O上一點(diǎn),連接PF,過原點(diǎn)O作直線PF的垂線交橢圓C的左準(zhǔn)線于點(diǎn)Q.
          (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
          (2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1),求證:直線PQ與圓O相切;
          (3)試探究:當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動時(shí)(不與A、B重合),直線PQ與圓O是否保持相切的位置關(guān)系?若是,請證明;若不是,請說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)已知圓o:x2+y2=b2與橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          有一個(gè)公共點(diǎn)A(0,1),F(xiàn)為橢圓的左焦點(diǎn),直線AF被圓所截得的弦長為1.
          (1)求橢圓方程.
          (2)圓o與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為C、D,B( x0,y0)是橢圓上異于點(diǎn)A的一個(gè)動點(diǎn),在線段CD上是否存在點(diǎn)T(t,0),使|BT|=|AT|,若存在,請說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知圓O:x2+y2=9,定點(diǎn) A(6,0),直線l:3x-4y-25=0
          (1)若P為圓O上動點(diǎn),求線段PA的中點(diǎn)M的軌跡方程
          (2)設(shè)E、F分別是圓O和直線l上任意一點(diǎn),求線段EF的最小值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•廣州一模)已知圓O:x2+y2=r2,點(diǎn)P(a,b)(ab≠0)是圓O內(nèi)一點(diǎn),過點(diǎn)P的圓O的最短弦所在的直線為l1,直線l2的方程為ax+by+r2=0,那么( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知圓O:x2+y2=1,點(diǎn)P在直線x=
          3
          上,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若圓O上存在點(diǎn)Q,使∠OPQ=30°,則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y0的取值范圍是( 。

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          同步練習(xí)冊答案