Question

（1）已知a，b，x，y是正實(shí)數(shù)，求證：

a2

x

+

b2

y

≥

(a+b)2

x+y

，當(dāng)且僅當(dāng)

a

x

=

b

y

時(shí)等號(hào)成立；
（2）求函數(shù)f(x)=

1

3-tan2x

+

9

8+sec2x

的最小值，并指出取最小值時(shí)x的值．

Answer 1

（1）應(yīng)用二元均值不等式，得 (

a2

x

+

b2

y

)(x+y)=a2+b2+a2

y

x

+b2

x

y

≥a2+b2+2

a2 y x b2 x y

=（a+b）²，
故

a2

x

+

b2

y

≥

(a+b)2

x+y

．
當(dāng)且僅當(dāng) a2

y

x

=b2

x

y

，即

a

x

=

b

y

時(shí)上式取等號(hào)．
（2）由（1）f(x)=

1 2

3-tan2x

+

3 2

8+sec2x

≥

(1+3) 2

11+1

=

4

3

．
當(dāng)且僅當(dāng)

1

3-tan2x

=

3

8+sec2x

，即 x=kπ，k∈Z時(shí)上式取最小值，即[f（x）]_min=

4

3

．