Question

已知θ∈（0，2π）且sinθ，cosθ是方程x²-kx+k+1=0的兩根，則k的值為

-1

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意和韋達(dá)定理列出方程組，由平方關(guān)系化簡(jiǎn)聯(lián)立列方程，求出k的值，最后要驗(yàn)證三角函數(shù)值的范圍．

解答：解：∵sinθ，cosθ是方程x²-kx+k+1=0的兩根，
∴

sinθ+cosθ=k       ① sinθcosθ=k+1       ②

，
①平方得，1+2sinθcosθ=k²，將②代入得，
k²-2k-3=0，解得k=3或-1，
當(dāng)k=3時(shí)，sinθcosθ=4，這與sinθcosθ＜1矛盾，故舍去，
當(dāng)k=-1時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證符合條件．
則k的值為-1，
故答案為：-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系），以及平方關(guān)系的靈活應(yīng)用，主要驗(yàn)證三角函數(shù)值的范圍．