Question

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）若不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，且直線與直線的斜率之和為1，試判斷直線是否過(guò)定點(diǎn).若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出該定點(diǎn)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線過(guò)定點(diǎn).

【解析】

（1）先利用橢圓定義求出的值，結(jié)合的值可求出的值，從而得出橢圓的方程；

（2）先假設(shè)直線的斜率存在，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，再依據(jù)兩直線斜率之和為1，得出含有和的式子，利用因式分解，可得與的關(guān)系，最后討論不存在的情況即可.

解：（1）易知，橢圓的左焦點(diǎn)為，由橢圓定義可得，∴，

所以，，因此，橢圓的方程為；

（2）設(shè)點(diǎn)、

①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，易知.

將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去得，

由韋達(dá)定理得，.

直線和直線的斜率之和為.

化簡(jiǎn)得，即，

由于，所以，，所以，.

所以，直線的方程為，直線過(guò)定點(diǎn)；

②當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，則，直線和直線的斜率之和為，得.

此時(shí)，直線也過(guò)點(diǎn).

綜上所述，直線過(guò)定點(diǎn).