設實數(shù)
，整數(shù)
，
.
（1）證明：當
且
時，
；
（2）數(shù)列
滿足
，
，證明：
.
（1）證明：當且時，；（2）.
解析試題分析：（1）證明原不等式成立，可以用數(shù)學歸納法，當
時，當
，由
成立.得出當
時，
，綜合以上當且時，對一切整數(shù)
，不等式均成立.（2）可以有兩種方法證明：第一種方法，先用數(shù)學歸納法證明
.其中要利用到當
時，
.當
得
.由（1）中的結(jié)論得
.因此
，即
.所以時，不等式也成立.綜合①②可得，對一切正整數(shù)
，不等式均成立.再證由
可得
，即
.第二種方法，構(gòu)造函數(shù)設
，則
，并且
.由此可得，
在
上單調(diào)遞增，因而，當
時，
.再利用數(shù)學歸納法證明
.
（1）證明：用數(shù)學歸納法證明
①當時，
，原不等式成立.
②假設時，不等式成立.
當時，
所以時，原不等式也成立.
綜合①②可得，當且時，對一切整數(shù)，不等式均成立.
證法1：先用數(shù)學歸納法證明.
①當
時，由題設
知成立.②假設
時，不等式
成立.
由
易知
.
當時，
.
當得.
由（1）中的結(jié)論得
.
因此，即.所以時，不等式
每日10分鐘口算心算速算天天練系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
設
是一個自然數(shù)，
是的各位數(shù)字的平方和，定義數(shù)列
：
是自然數(shù)，
（
，
）．
（1）求
，
；
（2）若
，求證：
；
（3）求證：存在
，使得
．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
在數(shù)列
中，已知
，
，
(
，
)．
（1）當
，
時，分別求
的值，判斷
是否為定值，并給出證明；
（2）求出所有的正整數(shù)
，使得
為完全平方數(shù)．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)以下四個不等式都是正確的：
；
；
；
．
請你觀察這四個不等式：
（1）猜想出一個一般性的結(jié)論（用字母表示）；
（2）證明你的結(jié)論．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題
已知Sn為正項數(shù)列{an}的前n項和，且滿足Sn＝
＋an(n∈
N＋)，求出a1，a2，a3，a4，猜想{an}的通項公式并給出證明
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的前
項和為
，且滿足
．
，
，
，
的值并寫出其通項公式；
≤
.
時
（用含
的式子表示）