Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知底面ABCD是邊長為1的正方形，側棱AA₁=2，P是側棱CC₁上的一點，CP=m（0＜m＜2）．
（Ⅰ）試問直線B₁D₁與AP能否垂直？并說明理由；
（Ⅱ）試確定m，使直線AP與平面BDD₁B₁所成角為60°；
（Ⅲ）若m=1，求平面PA₁D₁與平面PAB所成角的大�。�

Answer 1

分析：（I）分別求出兩條直線所在的向量，再利用向量的有關運算判斷兩個向量的夾角，進而得到答案．
（II）求出直線所在的向量以及平面的法向量，再根據(jù)向量的有關運算表示出兩個向量的夾角的正弦值，進而結合題意求出m的值．
（III）根據(jù)題意分別求出兩個平面的法向量，再利用向量的有關運算求出兩個向量的夾角，進而轉化為二面角的平面角．

解答：解：（Ⅰ）以D為原點，DA、DC、DD₁分別為x、y、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz．
則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），
D₁（0，0，2），A₁（1，0，2），B₁（1，1，2），C₁（0，1，2），P（0，1，m），
所以

B1D1

=(-1，-1，0)，  

AP

=(-1，1，m)，
所以

B1D1

•

AP

=1-1+0=0所以

B1D1

⊥

AP

．…（4分）
（Ⅱ）由題意可得：

BD

=(-1，-1，0)，  

B B   1

=(0，0，2)，

AC

=(-1，1，0)．
又∵

AC

•

BD

=0，  

AC

•

B B   1

=0，
∴

AC

為平面BB1D1D的一個法向量．
設直線AP與平面BDD₁B₁所成的角為θ，
則sinθ=cos(

π

2

-θ)=

| AP • AC |

| AP |•| AC |

=

2

2 • 2+ m 2

=

3

2

，解得m=

6

3

．
故當m=

6

3

時，直線AP與平面BDD₁B₁所成角為60°．…（8分）
（Ⅲ）∵m=1，
∴P（0，1，1），
∴

D1A1

=(1，0，0)，  

D1P

=(0，1，-1)，

AB

=(0，1，0)，

AP

=(-1，1，1)．
設平面PA₁D₁的法向量為

n1

=(x1，y1，z1)，
所以

n1 •  D1A1 =0 n1 •  D1P =0

，即

x1=0 y1-z1=0

，
所以可求得

n1

=(0，1，1)，
設平面PAB的法向量為

n2

=(x2，y2，z2)，同理可求得

n2

=(1，0，1)．
∴cos?

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

1

2

⇒?

n1

，

n2

＞=600，
故平面PA₁D₁與平面PAB所成角為60⁰．…（12分）

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握幾何體的結構特征，進而得到空間中點、線、面的位置關系，利于建立空間之間坐標系，利用向量的有關知識解決空間角與空間距離以及線面的位置關系等問題．